Catastrophes naturelles
La modélisation des catastrophes naturelles (ouragans, tremblements de terre, etc.) est un domaine d'expertise de l'équipe de recherche. Les récentes recherches sur les tremblements de terre ont entre autres identifié la dépendance statistique entre la fréquence et la force des catastrophes naturelles comme les séismes et les ouragans. La modélisation des cycles à court et à long terme dans l'arrivée des ouragans peut également servir à la modélisation de la saisonnalité des réclamations comme les accidents automobiles, les refoulements d'égouts et autres réclamations liées aux précipitations.
Fréquence de réclamations et données de comptage
La modélisation du nombre de réclamations à l'assureur est un élément majeur en tarification en assurance non-vie. Classiquement, on suppose que N est une variable aléatoire suivant une distribution de Poisson. Toutefois, cette distribution possède plusieurs défauts et se doit d'être généralisée. En effet, depuis un peu plus d'une décennie, l'utilisation de modèles pour données longitudinales, où une dépendance entre les contrats d'assurance d'un même assuré peut être incorporée, est devenu inévitable. À partir de grandes bases de données d'assurance contenant plusieurs centaines de milliers d'observations, des modèles de prévisions avancés sont donc développés et utilisés afin d'inclure les caractéristiques du risque (sexe, âge de l'assuré, territoire, etc.) dans l'estimation de la prime. Diverses généralisations ont aussi été testées afin d'inclure, par exemple, une dépendance entre le temps d'occurence d'un sinistre, ou afin d'évaluer plus en détails l'hétérogénéité d'un portefeuille d'assurance. Des techniques d'inférence classiques en statistique sont utilisées afin d'estimer les paramètres du modèle, de même que diverses autres méthodes plus récentes et appropriées à la science actuarielle.
Probabilités appliquées et recherche opérationnelle
Plusieurs domaines de recherche en probabilités appliquées ont en commun l'étude des trajectoires et des propriétés du processus stochastique modélisant le système sous analyse. Que ce soit un modèle de file d'attente, celui visant le contrôle d'un inventaire, un modèle de surplus actuariel, ou bien un modèle de risque de crédit, plusieurs s'intéressent par exemple aux temps de passage d'un processus stochastique. Il devient alors intéressant d'effectuer des transferts de technologies d'un domaine à l'autre pour raffiner les analyses et les résultats.
Les membres du laboratoire de recherche Quantact se spécialisent tout particulièrement dans l'étude des processus stochastiques et l'analyse de problèmes de contrôle stochastique.
Provisionnement et réserves
Une réserve est la quantité d'argent que l'assureur doit mettre de côté afin de rembourser les sinistralités passées des contrats en cours. La réserve se doit ainsi de correspondre exactement aux montants des obligations futures, sans profit, ni déficit. Le groupe de recherche se concentre sur les méthodes stochastiques permettant d'effectuer une prédiction sur le montant de réserve nécessaire. Des méthodes paramétriques, semi-paramétriques ou non-paramétriques sont souvent utilisées afin de déceler les tendances et de prédire l'évolution des montants provisionnés.
Systèmes bonus-malus
En assurances non-vie, plusieurs caractéristiques d'un assuré ne peuvent pas être utilisées dans la tarification a priori, soit parce qu'elles ne sont pas mesurables, soit parce qu'elles sont difficilement justifiables socialement. Néanmoins, certaines de ces variables ont un grand impact sur la fréquence de réclamation d'un assuré. Nous n'avons qu'à penser à l'agressivité au volant, aux réflexes, au salaire annuel ou à la fréquence de conduite sous l'effet de l'alcool, pour ne nommer que ces exemples. Afin de modéliser ces caractéristiques inconnues de chaque assuré, la modélisation bayésienne empirique est une alternative intéressante. En effet, un terme aléatoire ajouté à la distribution de fréquence de sinistres peut ainsi être mis à jour annuellement selon l'expérience de réclamation de l'assuré. L'analyse a posteriori de ce terme aléatoire permet d'ajuster la prime annuelle de l'assuré, révélant ainsi partiellement l'effet des caractéristiques non observées sur la fréquence de réclamations.
Parce qu'il arrive fréquemment que le développement théoriques des distributions a posteriori et prédictives soient complexes, historiquement, les actuaires ont utilisé d'autres méthodes pour estimer la prime. L'une d'elle est la théorie de la crédibilité linéaire. Bien que cette théorie soit une possibilité, en pratique, une autre méthode a été développée: les systèmes bonus-malus. Ces systèmes correspondent à un système de classes dans lesquels les assurés descendent ou grimpent d'un certain niveau en fonction du nombre d'accidents réclamés ou du nombre d'année d'assurance sans réclamation. Typiquement, un assuré descendra d'un niveau pour chaque réclamations à l'assureur, et grimpera d'un niveau pour chaque année d'assurance sans réclamation. Intuitivement, on peut en conclure que les assurés situés au haut de l'échelle seront moins risqués que ceux situés dans les niveaux inférieurs. Le but, par la suite, est d'établir la majoration de primes à accorder aux « mauvais assurés » et le rabais à accorder aux « meilleurs assurés ».
Les systèmes bonus-malus offrent une approximation raisonnable de la prime bayésienne, tout en offrant l'avantage d'être facilement comprise par un large public. Un axe de recherche important du laboratoire de recherche Quantact est le développement et l'analyse des propriétés mathématiques et probabilistes de ces systèmes bonus-malus.
Évaluation et couverture de produits dérivés et des garanties dans les fonds distincts
Depuis l'apparition du modèle de Black-Scholes-Merton et de la formule du prix d'une option call européenne, la finance mathématique s'est développée de façon impressionnante. En fait, rares sont les domaines où les échanges entre la recherche fondamentale et l'industrie privée ont été aussi riches et florissantes.
Premièrement, les modèles sont devenus de plus en plus sophistiqués en utilisant par exemple des processus avec sauts ou en incorporant des changements de régimes. Deuxièmement, les produits à évaluer se sont grandement complexifiés. Les défis mathématiques sont donc très nombreux et variés. Plus récemment, les compagnies d'assurance sont apparues sur des marchés traditionnellement occupés par des banques d'investissement et ont développé des produits d'assurance complexes mélangeant risque financier et risque d'assurance. Ces produits sont appelés fonds distincts (segregated funds au Canada et variable annuities aux États-Unis). Les garanties incluses dans les fonds distincts sont diverses : prestations minimales garanties au décès ou à la survie (GMMB et GMDB), rentes annuelles minimales garanties (GMIB), possibilités de retraits annuels minimums (GMWB), etc.
Les membres du laboratoire de recherche Quantact s'intéressent aux modèles et problématiques décrits ci-haut, incluant la calibration de modèles financiers complexes et la tarification de produits dérivés exotiques.
Théorie de la ruine et risque de crédit
La théorie de la ruine est le domaine de recherche s'intéressant à la modélisation du surplus actuariel d'une compagnie d'assurance. Classiquement, un processus de Poisson composé avec dérive était utilisé pour modéliser la différence entre les primes perçues et les sinistres couverts alors que, plus récemment, d'autres processus stochastiques, tels des processus de Lévy et des diffusions, ont aussi été utilisés. Certains modèles incorporent les versements de dividendes aux actionnaires ou bien le paiement d'impôts, mais tous visent à mesurer le risque associé aux activités principales de l'assureur. La mesure de risque la plus étudiée est certainement la probabilité de défaut de l'entreprise. Durant les dernières années, l'étude de la gravité du déficit lors de la ruine a connu un essor important et a donné naissance aux distributions de Gerber-Shiu, nommé en l'honneur de deux pionniers du domaine.
Le risque de crédit est le domaine de recherche qui concerne la solvabilité des entreprises corporatives. Il englobe principalement la représentation du moment du défaut (faillite, ruine) et de la perte subie par les créanciers au moment du défaut. Les principaux modèles de risque de crédit mettent l'emphase sur la dynamique des actifs et des passifs de la firme, alors que la théorie de la ruine s'intéresse au surplus de l'assureur (son capital ou l'excédent des actifs sur les passifs). Il existe principalement deux classes de modèles de risque de crédit : les modèles structurels (basés sur le premier passage d'un processus à une barrière) et les modèles à forme réduite (l'intensité de défaut est modélisée directement). Les applications possibles de ces modèles sont la gestion du risque de crédit dans un portefeuille et la tarification de dérivés de crédit. Bien que la théorie de la ruine et le risque de crédit aient des objectifs très similaires, les mathématiques utilisées et les applications sont assez différentes, ce qui fait que les deux domaines sont toujours aussi florissants en mathématiques actuarielles et financières.